Lange Zeitreihen und erwartete Rendite

Wer Geld anlegt, dem geht es um die Zukunft. Nur wenn ich glaube, dass beispielsweise deutsche Aktien künftig gute Renditen erzielen werden, werde ich  in diese Anlageklasse investieren wollen. Nun ist aber die Wertentwicklung von Aktien alles andere als vorhersehbar. Wenn ich heute investiere, könnte es durchaus sein, dass ich in einem Jahr nicht reicher, sondern ärmer bin.

Aber auch das muss mich nicht stören, sofern die Rendite auf lange Sicht stimmt. Bei Aktien bin ich mir also dessen bewusst, dass ich zwar zwischenzeitlich Verluste haben kann, nach einigen Jahren erwarte ich aber eine ordentliche Durchschnittsrendite.

Mit welcher langfristigen Durchschnittsrendite kann ich aber rechnen? Ist es, um beim Beispiel zu bleiben, bei detuschen Standardaktien (DAX) realistisch, langfristig 7%, 8%, 9% oder gar 10% zu erwarten?

Um diese Frage zu beantworten, suchen viele ihr Heil in der Vergangenheit. Man schaut sich also historische Zeitreihen an, analysiert sie und wagt dann den Schluss auf die Zukunft. Man nimmt das, was man kennt (die Vergangenheit), und überträgt es auf das, was man nicht kennt (die Zukunft). An irgendwas muss man sich doch halten, oder nicht?

Gerade bei Kapitalmarktdaten (Aktienkursen, Zinssätzen, Wechselkurse) liefern aber unterschiedlich lange Zeitreihen zum Teil sehr unterschiedliche Ergebnisse. Bezogen auf den Dax bekomme ich z.B. folgende durchschnittlichen Renditen, je nachdem wie viele Jahre ich zurückgehe:

  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 3 Jahre  (bis 31.01.2011): 3,6%
  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 5 Jahre: 6,6%
  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 10 Jahre: 3,3%
  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 20 Jahre: 10,5%
  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 25 Jahre: 9,8%
  • durchschnittliche DAX-Rendite der letzten 30 Jahre: 11,4%

Diese Zahlen liegen doch sehr weit auseinander. Woran soll man sich hier halten? Eher an den 3,3%, die in den letzten 10 Jahren erzielt wurden, oder an den 11,4% der letzten 30 Jahre? Welche Zahl ist aussagekräftiger und lässt einen zuverlässigeren Schluss auf künftige DAX-Renditen zu?

 Manche Leute argumentieren:

„Je länger die historische Zeitreihe ist, auf die man abstellt, desto wahrscheinlicher ist es, dass sie für die langristige Zukunft repräsentativ ist. Je länger die Zeitreihe, desto näher wird sie vermutlich an der erwarteten Rendite oder Wertentwicklung liegen. Die erwartete Rendite ist definitionsgemäß die beste Schätzung der zukünftigen langfristigen Rendite.“

Ich habe daran so meine Zweifel …

Das Argument nimmt eine fixierte Wahrscheinlichkeitsverteilung an

Die Idee, dass  längere Datenreihen einen besseren Schätzwert für den Erwartungswert, ist an sich sehr vernünftig. Nehmen wir als erstes Beispiel  eine verschlossene Box, in der sich 1000 Bälle befinden. Diese Box hat eine Öffnung, aus der man jeweils einen Ball herausnehmen kann, ohne dessen Farbe erkennen zu können.

Eine Versuchsperson weiß, dass sich ausschließlich rote und weiße Bälle in der Box befinden. Jetzt geht es darum abzuschätzen, wie viele rote Bälle sich in der Box befinden. Die Versuchsperson darf zunächst 10 Mal ziehen (wobei nach jeder Ziehung der gezogene Ball wieder zurück in die Box gelegt wird und die Box gut durchgeschüttelt wird).

Nehmen wir an, es werden 7 weiße und 3 rote Bälle gezogen. Die erste Schätzung wird also sein, dass 30% der Bälle in der Box rot sind. Also insgesamt 300.

Die Versuchsperson darf jetzt ein weiteres Mal ziehen, diesmal allerdings 20 Mal hintereinander. Und am Ende werden 7 rote Kugeln gezogen. 7/20 = 35%. Also ist jetzt die Schätzung für die Anzahl der roten Bälle in der Box: 350.

Klar ist: Je öfter die Versuchsperson ziehen darf, umso besser wird der Schätzwert für die richtige Anzahl der roten Bälle werden. Werden 50 Bälle hintereinander gezogen (mit Zurücklegen), werde ich dem Ergebnis mehr vertrauen als bei einer Ziehung von 20 Bällen. Hier stimmt also ohne Zweifel die Aussage: „Je größer die Datenreihe, desto wahrscheinlicher ist es, eine gute Schätzung für den Erwartungswert zu bekommen.“

Dennoch glaube ich nicht, dass man dieses Modell auf die Kaptialmärkte übertragen darf. Denn in dem Box-Beispiel bleibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zeit hinweg konstant. In der Box sind nun mal, sagen wir 327 rote Bälle, so dass es eine immer gleiche Wahrscheinlichkeit von 32,7% gibt, aus der Box einen roten Ball zu ziehen.

Woher wissen wir aber, dass besipielsweise die DAX-Rendite eine über die Zeit hinweg fixierte Wahrscheinlichkeitsverteilung hat?

Ist es nicht geradezu absurd anzunehmen, dass die DAX-Rendite am 7. Februar 1999 exakt dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde liegen hatte wie am 12. September 2001?

Bezogen auf die Finanzmärkte scheint mir folgendes (zweites) Modell viel eher der Realität zu entsprechen:

Die Versuchsperson darf wieder ziehen, muss aber nach jeder fünften Ziehung den Raum verlassen. Dann kommt der Versuchsleiter und ändert die Anzahl der roten und weißen Bälle in der Box. So könnte es beispielsweise zu folenden Ziehungen kommen:

  • Bei der Ziehung 1-5 werden 2 rote Bälle gezogen (tatsächlich sind 327 rote Bälle in der Box).
  • Bei der Ziehung 6-10 wird 1 roter Ball gezogen (die tatsächliche Anzahl der Bälle wurde auf 301 geändert).
  • Bei der Ziehung 11-15 werden 2 rote Bälle gezogen (die tatsächliche Anzahl der Bälle wurde auf 377 geändert).
  • Bei der Ziehung 16-20 werden 2 rote Bälle gezogen (die tatsächliche Anzahl der Bälle wurde auf 419 geändert).

Die Versuchsperson hat also bei den ersten 10 Ziehungen 3 rote Bälle gezogen. Auf dieser Basis könnte man zu dieser Schätzung des Erwartungswertes kommen: 3/10 = 30%.

Am Ende der 20. Ziehung hat die Versuchsperson 7 rote Bälle gezogen, so dass der Schätzwert 35% richtig erscheinen könnte.

Offenbar macht es in diesem Modell aber gar keinen Sinn, einen Erwartungswert schätzen zu wollen. Zwar hat die Versuchsperson nach der 20. Ziehung den Schätzwert 35%, was aber wenn der Versuchsleiter bei der nächsten Runde die tatsächliche Anzahl der roten Bälle beispielsweise auf 600 erhöht. Dann wird der Schätzwert von 35% für die Abschätzung der nächsten Ziehungen vollständig nutzlos sein.

Überhaupt ist es in diesem Modell nicht zulässig, von einem Erwartungswert zu sprechen. Es macht einfach keinen Sinn. Und klar ist auch, dass in diesem Modell die Anzahl der Ziehungen vollkommen nutzlos ist. Selbst wenn die Versuchsperson 500 Mal gezogen hat und (sagen wir einmal) 197 Mal einen roten Ball gezogen hat, könnte der Versuchsleiter für die nächste Rundebeliebig eine vollkommen andere Anzahl roter Bälle festlegen.

Bei diesem zweiten Modell wechselt die Wahrscheinlichkeitsverteilung alle fünf Mal. Wechselt die Wahrscheinlichkeitsverteilung aber, dann gilt folgendes:

  • Man kann nicht sinnvollerweise überhaupt von einem lanfristigen Erwartungswert für die Anzahl der roten Bälle in der Box sprechen.
  • Eine lange Datenreihe liefert keinen besseren Schätzwert für die aktuelle oder künftig richtige Anzahl der roten Bälle in der Box (im Vergleich zu einer kürzeren Datenreihe).

Wechseln die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei Kapitalmarktrenditen im Laufe der Zeit?

Die Frage ist nun: Welches Modell entspricht eher der Realität der Kapitalmärkte? Die Annahme einer für alle Zeiten fixierten Wahrscheinlichkeitsverteilung oder das geschilderte zweite Modell wechselnder Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Ich denke, dass es eine sehr gewagte Annahme ist zu glauben, dass beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung von DAX-Renditen über die Zeit konstant bleibt. Sieht man sich die tatsächlichen Daten an, so gibt es keinen Anhaltspunkt für diese Annahme. Das erkennt man auch daran, dass neben den durchschnittlichen Renditen auch die Volatilitäten von Kapitalmarktdaten über die Zeit hinweg sehr unterschiedlich sind. Die Volatilität ist ein statistisches Maß für die Schwankungsbreite. Ich habe einmal die durchschnittlichen Renditen und Erwarungswerte ab 1975 bis heute in 3-Jahres-Perionden ausgerechnet:

  • 1975 bis Ende 1977: durchschnittl. DAX-Rendite 10,8% bei einer Vola. von 15,3%
  • 1978 bis Ende 1980: durchschnittl. DAX-Rendite -3,9% bei einer Vola. von 10,2%
  • 1981 bis Ende 1983; durchschnittl. DAX-Rendite 16,9% bei einer Vola. von 14,2%
  • 1984 bis Ende 1986: durchschnittl. DAX-Rendite 22,5% bei einer Vola. von 19,5%
  • 1987 bis Ende 1989: durchschnittl. DAX-Rendite 10,3% bei einer Vola. von 23,8%
  • 1990 bis Ende 1992: durchschnittl. DAX-Rendite -2,9% bei einer Vola. von 19,9%
  • 1993 bis Ende 1995: durchschnittl. DAX-Rendite 13,9% bei einer Vola. von 16,3%
  • 1996 bis Ende 1998: durchschnittl. DAX-Rendite 29,5% bei einer Vola. von 22,8%
  • 1999 bis Ende 2001: durchschnittl. DAX-Rendite 4,0% bei einer Vola. von 24,8%
  • 2002 bis Ende 2004: durchschnittl. DAX-Rendite -2,1% bei einer Vola. von 29,3%
  • 2005 bis Ende 2007: durchschnittl. DAX-Rendite 22,1% bei einer Vola. von 11,0%
  • 2008 bis Ende 2010: durchschnittl. DAX-Rendite -2,0% bei einer Vola. von 24,9%

Nichts scheint mir hier für eine über die Zeit hinweg fixe Wahrscheinlichkeitsverteilung zu sprechen. Mal sind die Volatilitäten sehr hoch (wie zwischen 2002 und 2004 oder zwischen 2008 und 2010), dann sind die Volatilitäten wieder besonders niedrig (wie zwischen 1978 und 1980 oder zwischen 2005 und 2007).

Auch wenn man lange Perioden betrachtet, gibt es keinen Hinweis auf Kontinuität. Hier mal eine 5-Jahres-Periode und drei 10-Jahres-Perioden:

  • 1975 bis Ende 1979: durchschnittl. DAX-Rendite 4,7% bei einer Vola. von 13,2%
  • 1980 bis Ende 1989: durchschnittl. DAX-Rendite 14,7% bei einer Vola. von 18,9%
  • 1990 bis Ende 1999: durchschnittl. DAX-Rendite 15,7% bei einer Vola.von 20,5%
  • 2000 bis Ende 2009: durchschnittl. DAX-Rendite 1,4% bei einer Vola. von 23,8%

Und hier noch zwei (allerdings sich überlappende)  30 Jahres-Zeiträume:

  • Von 1981 bis heute: 11,40% durchschnittl. Rendite bei einer Volatiliät von 21,3%.
  • Von 1975 bis 2005 : 9,91% durchschnittl. Rendite bei einer Volatiliät von 20,3%.

Es gibt keinen Hinweis, dass die DAX-Rendite über einen Zeitraum von sagen wir 50 Jahren hinweg ein und dieselbe, immer durchweg konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung hat. Genau besehen, erscheint mir diese Annahme als sehr weit hergeholt.

Sehr gut kann man das übrigens auch daran erkennen, wenn man sich ansieht, mit welchen Erwartungsrenditen Leute zu verschiedenen Zeiten rechnen. Wenn man Leute aktuell nach ihrer persönlichen Schätzung fragt, welche Renditen mit deutschen Standardaktien langfristig realistisch sind, dann erfährt man solche Zahlen wie: 6%, 7% oder bei Optimisten 8-10%. Die meisten stehen noch unter dem Eindruck der schlechten Börsenphasen, die wir im vergangenen Jahrzehnt erlebt haben.

Schaun wir uns aber einmal an, was Bodo Schäfer beispielsweie 1999 geschrieben hat. Auf Seite 259 seines Buches „Der Weg zur finanziellen Freiheit“ nennt er seine Renditeerwartungen:

  • “Sichere” Anlagen: 12 Prozent
  • “Anlagen mit mittlerem bis hohem Risiko”: 20 bis 30 Prozent (!!!)

Bodo Schäfer stand damals offenbar unter dem Eindruck der damaligen Börsenhausse.

Nun mag man argumentieren, dass man sich eben nicht von kurzfristigen Börsenphasen in die Irre leiten lassen darf. Man dürfe eben nicht nur die letzten zwei oder drei Brösenjahre als Richtschnur hernehmen, sondern müsse lange Zeitreihen heranziehen. Nur, wie gesagt, macht das nur Sinn unter der Annahme einer über die lange Zeit hinweg konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eben das ist aber eine bloße Hypothese, die es zu beweisen gälte. Und es spricht rein gar nichts dafür, dass diese Hypothese stimmt.

Woher kommt die Hypothese konstanter Wahrscheinlichkeiten?

Ich weiß, dass man gerne in Finanzmarkttheorien genau diese Annahme einer fixierten Wahrscheinlichkeitsverteilung macht. Hier geht es darum, zunächst die Annahmen so einfach zu halten, dass man am Ende die Chance auf ein mathematisches Modell hat. Es geht darum, einen bestimmten Sachverhalt zu verstehen. Und dabei können mathematische Formeln sehr hilfreich sein (ich bin ja selbst promovierter Mathematiker).

Nehmen wir als Beispiel die Portfolio-Optimierung von Markowitz. Auch Markowitz geht von konstanten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus. Das Ergebnis ist eine schöne Theorie. Was aber ist der Sinn dieser Theorie? Der Sinn besteht darin, klar zu verstehen, inwiefern Diversifikation einen Mehrwert bringt im Vergleich zu nicht-diversifizierten Portfolios. Das für sich genommen ist gut und wertvoll. Die Markowitz-Theorie bringt einen theoritischen Erkenntniswert.

Nun kommen aber die Praktiker. Im Falle von Markowitz etwa 30 Jahre nachdem er diese Theorie entwickelt hat. Und die Praktiker erfeuen sich nicht nur an dem theoretischem Erkenntnisgewinn, sondern wollen die Theorie in der Praxis des Geldanlageprozesses anwenden.

Will man diese Theorie aber in der Praxis anwenden, dann sollte man sich vorher noch einmal die zugrundeliegenden Annahmen genau ansehen. Da die Annahmen kaum mit der Realtität in Einklang zu bringen sind, ist es bei der Markowitz-Optimierung auch nicht verwunderlich, dass sie in der Praxis zu keinen brauchbaren Ergebnissen führt. Eine praktische Anwendung war aber auch nicht die ursprüngliche Intention von Markowitz. Und so ist es mit vielen finanzmathematischen Modellen: Sie sollen ein prinzipiellen Verständnis bestimmter Sachverhalte (unter vereinfachten Annahmen) ermöglichen, aber sie sind nicht dazu bestimmt in der Praxis angewendet zu werden.

Erst die Praktiker machen den Fehler und nehmen die komplizierten finanzmathematischen Formeln, um sie ungeprüft anzuwenden. Sie erfreuen sich daran, endlich etwas Berechenbares zu haben. Denn die Finanzmärkte sind leider so hoffnungslos unberechenbar. Und am Ende sind sie enttäuscht, weil die Realtität doch immer wieder ganz anders ist, als von der Finanztheorie angeblich vorausgesagt. Das Problem ist, dass diese Praktiker nicht die vereinfachten Annahmen überprüfen, die die Finanztheorie notwendigerweise machen muss. Und hinterher heißt es dann: Die Finanzmathematik ist schuld und nicht korrekt. (Zuletzt geschehen mit Bezug auf die Berechnung der CDOs im Zusamenhang der Finanzmarktkrise).

Zur Normalverteilung

Eine der vereinfachten Annahmen, die die Finanztheorie regelmäßig macht, ist, dass Kapitalmarktrenditen normalverteilt sind. Hierzu möchte ich in einem nachfolgenden Weblog-Beitrag ausfürhlich Stellung nehmen. Natürlich ist auch das eine Annahme, die sich nur schwer mit der Realität in Einklang bringen lässt. Dazu aber, wie gesagt, ein andermal mehr.

Fazit

Die Situation als Geldanleger ist und bleibt schwierig. Entweder lege ich möglichst ohne jegliches Risiko an, dann muss ich Tagesgeld oder Festgeld wählen. Oder ich gehe Risiken ein. Leider sind diese Risiken nur sehr schwer beherrschbar, weil die Finanzmärkt letztlich unberechenbar sind. Keiner von uns weiß, ob nicht in einer Woche wieder ein größerer Crash stattfinden wird, oder die Aktien in eine 5-jährige Phase eintreten, in der es über Jahre mit schönen Renditezahlen nur nach oben geht. Wir wissen es einfach nicht.

Dieser Zustand der Unwissenheit veranlasst so manche, nach dem erst besten Halm zu greifen, der sich anbietet. Bemerkenswert viele Börsenhändler sind tatsächlich abergläubisch (Siehe Nassim Talebs Buch „Der schwarze Schwan“). Der Aberglaube kann einen (scheinbaren) Halt in einer unberechenbaren Welt bieten. Genauso wie die Chart-Analyse (eine Form moderner Finanz-Astrologie).

Man kann aber auch einen (scheinbaren) Halt zu finden versuchen in mathematischen, statistischen Modellen von den Kapitalmärkten. Solche Modell, wie gesagt, bildet die moderne Finanztheorie aus und hat den Vorteil, einen wissenschaftlichen Anstrich zu haben. Aber auch das liefert (leider) nur einen scheinbaren Halt, da nämlich die Finanztheorie überhaupt nicht die Absicht hat, in der Praxis anwendbar zu sein. Der Praktiker überträgt die vereinfachten theoretischen Annahmen, meint, endlich etwas wissenschaftlich Fundiertes zu haben, an dem er sich halten kann … und muss leider am Ende feststellen: Die Finanzwelt ist und bleibt unvorhersehbar und unberechenbar.

Das beste, was man tun kann, ist – meiner Meinung nach – sich in Bescheidenheit zu üben, und mit Sokrates anzuerkennen, dass man letztlich nichts weiß.

2 Antworten
  1. Patrick Möws
    Patrick Möws says:

    Hallo Herr Dr. Pettereins,

    ich habe eine Frage zur Ermittlung der durchschnittlichen DAX-Rendite.

    ich habe eine Berechnung anhand historischer DAX Werte (20 Jahre) durchgeführt und erhalte eine durchschnittliche Rendite von 10,74%. Ist das realistisch?

    Über feedback von Ihnen würde ich mich sehr freuen.

    Mit freundlichen Grüßen
    Patrick Möws

    Antworten
    • Peterreins
      Peterreins says:

      Ja, Herr Möws, ich persönlich halte das für absolut realistisch. Ich meine, es kommt darauf an, was man -künftig- für möglich hält. Und die Zukunft kann anders sein als die Vergangenheit. Daher halte ich nicht allzu viel von der Analyse von Vergangenheitsdaten. Denn bei Vergangenheitsdaten kann ich fast zu jedem Ergebnis kommen, das ich möchte, je nachdem welchen zeitraum ich wähle. Das einzige, was Verganenheitsdaten zeigen, ist, was alles möglich ist. Und, wie gesagt, Renditen bei Aktien von 10% p.a. langfristig halte ich für mehr als möglich, eigentlich für wahrscheinlich.

      Antworten

Hinterlassen Sie einen Kommentar

Wollen Sie an der Diskussion teilnehmen?
Feel free to contribute!

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind markiert *

Newsletter abonnieren (Jederzeit wieder abbestellbar)